تبلیغات
فیزیک - قانون گاوس

فیزیک

شنبه 6 خرداد 1391

قانون گاوس

نویسنده: مهدی   

فرم انتگرالی

برای حجم V با سطح S، قانون گاوس بیان می‌کند که

\Phi_{E,S} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

که ΦE,S شار الکتریکی در S است، Q بار کل در حجم V است، و ε۰ ثابت الکتریکی است. شار الکتریکی از انتگرال گیری روی سطح S بدست می‌آید:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}

که E میدان الکتریکی است و dA نشانگر برداری از المان بی نهایت کوچک سطح می‌باشد و (.) به عنوان ضرب داخلی برداری به کار می‌رود.

به کارگیری فرم انتگرالی

اگر میدان الکتریکی همه جا معلوم باشد، قانون گاوس کار را خیلی راحتتر می‌کند، در اصل، برای یافتن توزیع بار الکتریکی: باری را که در هر ناحیه داده شده می‌تواند با یکپارچگی میدان الکتریکی و یافتن شار استنباط کرد. با این حال، بیشتر اوقات، این مشکل معکوسی است که باید حل شود: یعنی توزیع بار الکتریکی معلوم است، و میدان الکتریکی باید محاسبه شود. این خیلی مشکل تر است، زمانی که شما شار کل عبوری از سطح را می‌دانید، که این تقریبا هیچ اطلاعاتی در مورد میدان الکتریکی نمی‌دهد، که خود می‌تواند از روی الگوی پیچیده‌ای خودسرانه وارد و خارج سطح شود.

فرم دیفرانسیلی

شکل دیفرانسیلی، قانون گاوس بیان می‌دارد که:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}

که · ∇نشان دهنده واگرایی یا همان دیورژانس، E میدان الکتریکی، و ρ چگالی بار کل است، و ε۰ ثابت الکتریکی است. این معادله از لحاظ ریاضی بنا به قضیه دیورژانس با فرم انتگرالی معادل است.

هم ارزی فرم دیفرانسیلی و انتگرالی

فرم‌های دیفرانسیلی و انتگرالی از دیدگاه ریاضی معادل اند، از طریق قضیه دیورژانس. به بیان دقیق تر: فرم انتگرالی قانون گاوس به این صورت است که:

\oint_S \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A} = \frac{Q}{\varepsilon_0}

برای هر سطح بسته S که بار Q را در بر می‌گیرد. با قضیه دیورژانس، این معادله برابر است با:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \frac{Q}{\varepsilon_0}

برای هر حجم V که بار Q را در بر می‌گیرد. با توجه به ارتباط بین بار الکتریکی و چگالی بار، این تساوی معادل است با:

\iiint\limits_V \nabla \cdot \mathbf{E} \ \mathrm{d}V = \iiint\limits_V \frac{\rho}{\varepsilon_0} \ \mathrm{d}V

برای هر حجم V. برای این که این معادله به طور همزمان برای هر حجم ممکن V برقرار باشد، این شرط لازم و کافی است که معادلات زیر انتگرال برابر باشند. بنابراین، این تساوی معادل است با

\nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}.

پس معادلات دیفرانسیل و انتگرال معادل هستند.

از دیدگاه بار

بار آزاد در مقابل بار مقید

بار الکتریکی که در ساده‌ترین موقعیت‌های کتاب درسی بیان می‌شود در میان بار الکتریکی آزاد طبقه بندی می‌شود، برای مثال، باری که در الکترواستاتیک جابجا می‌شود، یا باری که روی صفحه‌های خازن ذخیره می‌شوند. در عوض بار مقید فقط در مورد چارچوب دی الکتریک بیان می‌شود و موادی که قابلیت قطبی شدن دارند.(تمام مواد تا حدی قابلیت قطبش دارند.) زمانی که موادی این چنین در یک میدان الکتریکی خارجی قرار می‌گیرند، الکترون‌ها در قید اتم‌های خود می‌مانند، اما در پاسخ به میدان الکتریکی یک تغییر فاصله میکروسکوپی با اتم خود می‌دهند، بنابر این الکترون‌های یک سمت بیشتر از سمت دیگر اتم می‌شود. همه این جابجایی‌های میکروسکوپیک جمع می‌شوند تا یک شبکه توزیع بار را تشکیل دهند، و این به منزله وجود بار مقید است. همه بارها از دیدگاه میکروسکوپیک اساسا یکسان هستند، اغلب دلایل عملی برای تمایز بین بار مقید و بار آزاد وجود دارد. یکی از دلایل اساس قانون گاوس است، که از لحاظE، در اکثر موارد در معادلات برای محاسبات و استفاده از D باید بار را به صورت بار آزاد در نظر بگیریم.

فرم انتگرالی

این فرمولبندی از قانون گاوس بیان می‌دارد که، برای هر حجمV در فضا، با سطح S، رابطه زیر برقرار است:

\Phi_{D,S} = Q_{\mathrm{free}},\!

که ΦD,S شار جابجایی میدان الکتریکی D از سطح S، و 'Qfree بار آزادی است که در حجم V قرار دارد. شار ΦD,S مشابه شار میدان الکتریکی ΦE,S که شار E از سطح S است تعریف شده. به ویژه که آن از انتگرال سطح بدست می‌آید

\Phi_{D,S} = \oint_S \mathbf{D} \cdot \mathrm{d}\mathbf{A}.

فرم دیفرانسیلی

فرم دیفرانسیلی قانون گاوس، که فقط شامل بارهای آزاد می‌شود، بیان می‌دارد:

\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{D} = \rho_{\mathrm{free}}

که D · دیورژانس جابجایی میدان الکتریکی است، و ρfree چگالی بار آزاد می‌باشد. فرم دیفرانسیلی و فرم انتگرالی از لحاظ ریاضیاتی معادل اند.

بیان هم ارزی بار کل و بار آزاد

در مواد خطی

در مواد همگن، ایزوتروپیک، ناپاشنده خطی یک ارتباط ساده و زیبا بین E و D هست:

\varepsilon \mathbf{E} =  \mathbf{D}

که ε ضریب گذر دهی الکتریکی ماده‌است. تحت این شرایط هنوز یک جفت از فرمول‌های قانون گاوس باقی است:

\Phi_{E,S} = \frac{Q_{\mathrm{free}}}{\varepsilon}
\mathbf{\nabla} \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho_{\mathrm{free}}}{\varepsilon}

ارتباط با قانون کولن

استخراج قانون گاوس از قانون کولن

قانون گاوس می‌تواند از قانون کولن استخراج شود، قانون کولن بیان می‌دارد که میدان الکتریکی حاصل از بار ثابت است:


\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{q}{4\pi \epsilon_0} \frac{\mathbf{e_r}}{r^2}

که:er بردار یکه شعاعی است، r شعاع است، :\epsilon_0 هم ثابت الکتریکی است، q بار ذره‌است، که فرض شده در مبدا قرار دارد.

با استفاده از این بیان قانون کولن، ما میدان کل را در فاصله r با استفاده از انتگرال گیری برای جمع تمام میدان‌ها در r از بارهای بی نهایت خورد در فضای s را داریم:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \int \frac{\rho(\mathbf{s})(\mathbf{r}-\mathbf{s})}{|\mathbf{r}-\mathbf{s}|^3} d^3 \mathbf{s}

اگر ما از هر دو طرف تساوی دیورژانس بر حسب r بگیریم داریم

\nabla \cdot \left(\frac{\mathbf{s}}{|\mathbf{s}|^3}\right) = 4\pi \delta(\mathbf{s})

که (δ(s تابع دلتای دیراک است، حاصل به شکل زیر بدست می‌دهد:

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\epsilon_0} \int \rho(\mathbf{s})\ \delta(\mathbf{r}-\mathbf{s})\ d^3 \mathbf{s}

با استفاده از خاصیت غربالگری تابع دلتای دیراک می‌رسیم به:

\nabla\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \rho(\mathbf{r})/\epsilon_0

که همان فرم دیفرانسیلی قانون گاوس هست، درست همان طور که انتظار داشتیم.

استخراج قانون کولن از قانون گاوس

به صرف گفتار، قانون کولن را نمی‌توان از قانون گاوس استخراج کرد چون قانون گاوس هیچ اطلاعاتی در مورد کرل یا تاو E نمی‌دهد. با این وجود، قانون کولن می‌تواند از قانون گاوس اثبات شود، بعلاوه، میدان الکتریکی حاصل از بار نقطه‌ای به شکل کروی متقارن است(این فرض مثل خود قانون کولن است، که وقتی بار ثابت است دقیقا صحت دارد، و وقتی بار در حرکت باشد تقریبا درست است).

قرار دادن S در فرم انتگرالی قانون گاوس سطح کره‌ای به دست می‌دهد به شعاع r، که بار نقطه‌ای Q در مرکز قرار دارد:

\oint_{S}\mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = Q/\varepsilon_0

با فرض تقارن کروی، حاصل انتگرال مقدار ثابتی می‌شود که می‌توان از زیر انتگرال خارج کرد، و نتیجه می‌دهد:

4\pi r^2\hat{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{E}(\mathbf{r}) = Q/\varepsilon_0

که \hat{\mathbf{r}} بردار یکه شعاعی است که سمت بار نقطه‌ای را که در فاصله r هست نشان می‌دهد، دوباره با استفاده از تقارن کروی، E در راستای شعاعی را به دست می‌دهد:

\mathbf{E}(\mathbf{r}) = \frac{Q}{4\pi \varepsilon_0}\frac{\hat{\mathbf{r}}}{r^2}

که اساسا معادل قانون کولن می‌باشد.

نظرات() 
Foot Issues
دوشنبه 9 مرداد 1396 09:13 ق.ظ
Thanks for ones marvelous posting! I truly enjoyed reading
it, you will be a great author. I will make certain to bookmark your blog and definitely will come back down the road.
I want to encourage you to definitely continue your great job, have a nice afternoon!
http://kaitlynprouty.jimdo.com
یکشنبه 8 مرداد 1396 10:59 ب.ظ
Good write-up. I absolutely love this website.
Keep writing!
std clinic near me
شنبه 3 تیر 1396 02:33 ب.ظ
core از خود نوشتن در حالی که ظاهر شدن مناسب در
آیا نه کار خوب با من پس از برخی از زمان.
جایی درون پاراگراف شما در واقع موفق به
من مؤمن متاسفانه تنها برای while.
من هنوز مشکل خود را با فراز در مفروضات و شما ممکن است را خوب به کمک پر کسانی که معافیت.
که شما در واقع که می توانید انجام من
خواهد قطعا بود مجذوب.
Sadie
یکشنبه 24 اردیبهشت 1396 11:27 ب.ظ
Thanks for sharing such a nice idea, paragraph is good, thats why
i have read it entirely
 
لبخندناراحتچشمک
نیشخندبغلسوال
قلبخجالتزبان
ماچتعجبعصبانی
عینکشیطانگریه
خندهقهقههخداحافظ
سبزقهرهورا
دستگلتفکر

نویسندگان

صفحات جانبی

نظرسنجی

    ایا از مطالب وبلاگ رضایت دارید


آمار سایت

 چت


var a_Colour="red"; var b_Colour="blue"; var c_Colour="green"; var Size=40; //Alter nothing below !! var YDummy=new Array(),XDummy=new Array(),xpos=0,ypos=0,ThisStep=0;step=0.03; if (document.layers){ window.captureEvents(Event.MOUSEMOVE); function nsMouse(evnt){ xpos = window.pageYOffset+evnt.pageX+6; ypos = window.pageYOffset+evnt.pageY+16; } window.onMouseMove = nsMouse; } else if (document.all) { function ieMouse(){ xpos = document.body.scrollLeft+event.x+6; ypos = document.body.scrollTop+event.y+16; } document.onmousemove = ieMouse; } function swirl(){ for (i = 0; i < 3; i++) { YDummy[i]=ypos+Size*Math.cos(ThisStep+i*2)*Math.sin((ThisStep)*6); XDummy[i]=xpos+Size*Math.sin(ThisStep+i*2)*Math.sin((ThisStep)*6); } ThisStep+=step; setTimeout('swirl()',10); } var amount=10; if (document.layers){ for (i = 0; i < amount; i++) { document.write(''); document.write(''); document.write(''); } } else if (document.all){ document.write('
' +'
'); for (i = 0; i < amount; i++) { document.write('
'); document.write('
'); document.write('
'); } document.write('
'); } function prepos(){ var ntscp=document.layers; var msie=document.all; if (document.layers){ for (i = 0; i < amount; i++) { if (i < amount-1) { ntscp['nsa'+i].top=ntscp['nsa'+(i+1)].top;ntscp['nsa'+i].left=ntscp['nsa'+(i+1)].left; ntscp['nsb'+i].top=ntscp['nsb'+(i+1)].top;ntscp['nsb'+i].left=ntscp['nsb'+(i+1)].left; ntscp['nsc'+i].top=ntscp['nsc'+(i+1)].top;ntscp['nsc'+i].left=ntscp['nsc'+(i+1)].left; } else { ntscp['nsa'+i].top=YDummy[0];ntscp['nsa'+i].left=XDummy[0]; ntscp['nsb'+i].top=YDummy[1];ntscp['nsb'+i].left=XDummy[1]; ntscp['nsc'+i].top=YDummy[2];ntscp['nsc'+i].left=XDummy[2]; } } } else if (document.all){ for (i = 0; i < amount; i++) { if (i < amount-1) { msie.x[i].style.top=msie.x[i+1].style.top;msie.x[i].style.left=msie.x[i+1].style.left; msie.y[i].style.top=msie.y[i+1].style.top;msie.y[i].style.left=msie.y[i+1].style.left; msie.z[i].style.top=msie.z[i+1].style.top;msie.z[i].style.left=msie.z[i+1].style.left; } else { msie.x[i].style.top=YDummy[0];msie.x[i].style.left=XDummy[0]; msie.y[i].style.top=YDummy[1];msie.y[i].style.left=XDummy[1]; msie.z[i].style.top=YDummy[2];msie.z[i].style.left=XDummy[2]; } } } setTimeout("prepos()",10); } function Start(){ swirl(),prepos() } window.onload=Start; // -->

جاوا اسكریپت

enter">تعبیر خواب آنلاین

align="cente
استخاره آنلاین با قرآن کریم

r"> فال حافظ


src="http://pichak.net/statistics/code/code.php?
استخاره آنلاین با قرآن کریم

href="http://pichak.net/estekhareh/pasokh.php" target="_blank">استخاره آنلاین با قرآن کریم

color=3E3E3E&bgcolor=FFF5D8&id=zjrj1x7pxc&borderc=3E3E3E&borderw=1" >

آمار وبلاگ

  • کل بازدید :
  • بازدید امروز :
  • بازدید دیروز :
  • بازدید این ماه :
  • بازدید ماه قبل :
  • تعداد نویسندگان :
  • تعداد کل پست ها :
  • آخرین بازدید :
  • آخرین بروز رسانی :